\(\left(1\right)\Leftrightarrow z=x-y+1\)

Thế vào (2)\(xy+\left(x^2+y^2-2xy+2x-2y+1\right)-7\left(x-y+1\right)+10=0\)

\(x^2+y^2-xy-5x+5y+4\Leftrightarrow-xy-5\left(x-y\right)+21=0\left(3\right)\\ \)

\(\left(x-y\right)^2=17-2xy\Rightarrow-xy=\frac{\left(x-y\right)^2-17}{2}\) (4)đặt (x-y)=t

\(\left(3\right)\Leftrightarrow\frac{t^2-17}{2}-5t+21=0\Leftrightarrow t^2-10t+25\Rightarrow t=5\)

(1)=> z=6

(4) => xy=-4 hệ \(\left\{\begin{matrix}x-y=5\\xy=-4\end{matrix}\right.\)=> (y+5)y=y^2+5y+4=0=>\(\left\{\begin{matrix}y=-1\\y=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=4\\x=1\end{matrix}\right.\)

Kết luận:

(x,y,z)=(1,-4,6);(4,-1,6)

Đặt \(\left(x-1;y-2;z-3\right)=\left(a;b;c\right)=abc>0\)

Điều kiện bài toán trở thành :

\(a+1+b+2+c+3< 9\)

\(\sqrt{a+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\sqrt{c+5\left(a+1\right)+4\left(b+2\right)+3+\left(c+3\right)}\)

\(=\left(a+1\right)\left(b+2\right)=\left(b+2\right)\left(c+3\right)=\left(c+3\right)+\left(a+1\right)+11+a+b+c< 3\)

\(a+b+c< 3\)

\(=\sqrt{a+\sqrt{b}+\sqrt{c}+ab+bc+ca}\)

Mặt khác, do  không âm, ta luôn có:

\(\text{⇒2√a≥a(3−a)≥a(b+c)⇒2a≥a(3−a)≥a(b+c) (1)}\)

Hoàn toàn tương tự ta có:\(\text{ 2√b≥b(c+a)2b≥b(c+a) (2)}\)

\(\text{2√c≥c(a+b)2c≥c(a+b) (3)}\)

Cộng vế với vế (1);(2);(3):

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\text{a=b=c=0a=b=c=0 hoặc a=b=c=1a=b=c=1}\)

Aki Tsuki hattori heiji Akai Haruma

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}4x+y+2z=4\\3x+6y-2z=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(4x+y+2z\right)+\left(3x+6y-2z\right)=4+6=10\)

\(\Leftrightarrow7x+7y=10\)

\(\Leftrightarrow x+y=\dfrac{10}{7}\)

Do x, y nguyên dương nên không có x, y, z thoả mãn đề bài.

Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại

Với pt sau:

Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm

Với \(x;y;z\ne0\)

Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)

Biểu thức này chỉ có min, không có max

\(x^2+y^2+z^2=xy+xz+10yz\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x^2}{4}+\left(\dfrac{x}{2}-y-z\right)^2=12yz\)

\(\Rightarrow12yz\ge\dfrac{3}{4}x^2\Rightarrow yz\ge\dfrac{x^2}{16}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{3x^3}{2yz}\ge\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{3x^3}{\dfrac{x^2}{8}}=\dfrac{x^3}{2}-24x\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{x^3}{2}-24x\) với \(x>0\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{3}{2}x^2-24=0\Rightarrow x=4\)

Từ BBT ta thấy \(\min\limits_{x>0}f\left(x\right)=f\left(4\right)=-64\)

\(\Rightarrow P_{min}=-64\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(4;1;1\right)\)

a/ Đơn giản là dùng phép thế:

\(x+2y+x+y+z=0\Rightarrow x+2y=0\Rightarrow x=-2y\)

\(x+y+z=0\Rightarrow z=-\left(x+y\right)=-\left(-2y+y\right)=y\)

Thế vào pt cuối:

\(\left(1-2y\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=26\)

Vậy là xong

b/ Sử dụng hệ số bất định:

\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{12}-\frac{z}{4}\right)=a\\b\left(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}+\frac{z}{3}\right)=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}\right)x+\left(\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\right)y+\left(\frac{-a}{4}+\frac{b}{3}\right)z=a+b\) (1)

Ta cần a;b sao cho \(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\\\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{5}\)

Chọn \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=5\end{matrix}\right.\) thay vào (1):

\(\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)=7\Rightarrow x+y+z=6\)

\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) cộng (3) ta được

\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)

Lấy (1) - (4) ta được

\(2x\left(x+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

Đến đây thì dễ rồi nhé

2. \(\left\{{}\begin{matrix}\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)=6\\\left(yz-y\right)-\left(z-1\right)=12\\\left(zx-z\right)-\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y-1\right)=6\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)=12\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

Đến đây dễ rồi